Resolução de Equações do 2º Grau

Um dos grandes problemas relacionados ao ensino da Matemática está na assimilação de algumas fórmulas utilizadas em determinadas resoluções. Os alunos demonstram resistência em memorizar expressões matemáticas. A equação do 2º grau é um exemplo de conteúdo matemático que requer o uso de uma fórmula prática para a determinação do conjunto solução.

Diante dessa situação, o licenciado precisa criar mecanismos capazes de solucionar a problemática da memorização das fórmulas. No caso das equações do 2º grau, o professor deve apresentar ao aluno outras formas de resolver uma equação do 2º grau. Entre os métodos mais conhecidos, verificaremos a utilização do trinômio quadrado perfeito e a composição de uma equação do 2º grau por meio da soma e do produto das raízes.


Trinômio quadrado perfeito

A equação x² – 14x + 49 = 0 é considerada um trinômio quadrado perfeito, pois podemos escrevê-la de acordo com o seguinte produto notável: (x – 7)².

Regra prática:
(x – 7)² = x² – 2 * 7 * x + 7² = x² – 14x + 49


Aplicando distribuição:
(x – 7) * (x – 7) = x² – 7x – 7x + 49 = x² – 14x + 49


Determinando a raiz de acordo com (x – 7)²:

(x – 7)² = 0
x – 7 = 0
x’ = x’’ = 7

Nas equações que podem ser escritas sob a forma (ax + b)², teremos sempre duas raízes reais e iguais.


Soma e produto de raízes

Uma equação do 2º grau possui coeficientes numéricos a, b e c. O coeficiente b é relacionado à soma das raízes e o coeficiente c ao produto entre as raízes. Então, temos a seguinte lei de formação partindo da ideia da soma e do produto das raízes: x² – Sx + P = 0.


Mostre ao aluno como determinar a raiz de uma equação utilizando essa regra. Vamos determinar as raízes da equação x² – 9x + 20 = 0.

Nessa equação, as raízes são tais que, a soma precisa ser igual a 9 e o produto igual a 20. Basta descobrir os números que se encaixam nessa situação, indicando a resolução por meio de um cálculo mental.

Cálculo mental

Números em que a soma é igual a 9 e o produto é igual a 20 → x = 5 e x = 4.

5 + 4 = 9
5 * 4 = 20

A forma fatorada de x² – 9x + 20 = 0 é dada por (x – x’) * (x – x’’), na qual: (x – 5) * (x – 4).

Observe outro exemplo.

Determinar as raízes da equação x² – 6x – 27 = 0

Soma = 9 – 3 = 6
Produto = 9 * (–3) = 27

Forma fatorada = (x – x’) * (x – x’’) = (x – 9) * (x + 3)

As raízes são x’ = 9 e x’’ = –3


Deixe bem claro que uma equação do 2º grau pode ser resolvida mediante essas técnicas, mas em alguns casos, a melhor forma de obter as raízes é utilizando a fórmula resolutiva de Bhaskara, principalmente quando os resultados são frações e números na forma de radical.

Por Marcos Noé
Graduado em Matemática
Equipe Brasil Escola