Diagramas de Venn

Um importante conteúdo referente ao 1º ano do Ensino Médio é a definição de conjunto e sua relação com os diagramas de Venn. O professor deve definir conjunto como a reunião de objetos, de números, dados estatísticos, de letras, etc. Já os diagramas de Venn são utilizados na melhor visualização das propriedades dos conjuntos, facilitando cálculos e a interpretação de situações problema.

A relação entre tais conteúdos pode ser feita através da união de conjuntos envolvendo número de elementos. Primeiramente, explique as propriedades do número de elementos da união de dois conjuntos e posteriormente da união de três conjuntos.

Número de elementos da união de dois conjuntos

Consideremos dois conjuntos A e B, iremos determinar os elementos de A por n(A), os elementos de B por n(B), a união de A com B por n(A U B) e a intersecção de A com B por n(A ∩ B). Demonstre a relação utilizando o diagrama:

n(A U B) = n(A) + n(B) – n(A ∩B)


Número de elementos da união de três conjuntos

Considerando os conjuntos A, B e C teremos a seguinte relação na determinação do número de elementos:

n(A U B U C) = n(A) + n(B) + n(C) – n(A ∩ B) – n(A ∩ C) – n(B ∩ C) + n(A U B U C)


Sugestão de atividade envolvendo Diagramas de Venn e Conjuntos.

Exemplo

Uma avaliação contendo duas questões foi dada a 200 alunos. Sabendo que:

50 alunos acertaram as duas questões.
100 alunos acertaram a primeira questão.
99 alunos acertaram a segunda questão.
Quantos alunos erraram as duas questões?


1º questão = n(A)
2º questão = n(B)


Acertaram as duas questões → n(A ∩ B) = 50
Acertaram somente a questão A → n(A) – n(A ∩ B) = 100 – 50 = 50
Acertaram somente a questão B → n(B) – n(A ∩ B) = 99 – 50 = 49
Erraram as duas questões → U – n(A) – n(B) – n(A ∩ B) = 200 – 50 – 50 – 49 = 51

Representação utilizando o diagrama de Venn:

Concluímos que 51 alunos erraram as duas questões.

Por Marcos Noé
Graduado em Matemática
Equipe Brasil Escola