Completando Quadrados

A equação do 2º grau possui inúmeras aplicações no cotidiano e sua forma de resolução está atribuída ao indiano Bhaskara, mas, aproximadamente, por volta do ano de 2000 a.C. os babilônios utilizavam outra técnica na resolução dessas equações. Somente a forma resolutiva de Bhaskara é ensinada na maioria das escolas, em razão da praticidade de trabalhar somente com o valor dos coeficientes. Mas é de extrema importância que o professor assuma a responsabilidade de trabalhar com os alunos a resolução através do complemento de quadrados.

O exemplo que será dado serve como recurso didático auxiliar, cabendo ao professor buscar novas situações. A equação do 2º grau x² – 10x = –9 será resolvida pelo método dos hindus, observe:

x² – 10x = –9

1º passo
A equação deverá ser multiplicada pelo quádruplo do coeficiente do termo elevado ao quadrado. Veja que o coeficiente é igual a 1, portanto o seu quádruplo é dado por 4.
4 * x² – 4 * 10x = –9 * 4
4x² – 40x = –36

2º passo
Somar aos membros da equação o quadrado do número que representa o coeficiente de x na equação original, nesse caso o número –10. Temos que o quadrado do número –10 é 100, então vamos somar o resultado à equação:
4*x² – 4*10x + 100 = –36 + 100
4x² – 40x + 100 = 64

3º passo
Vamos fatorar a equação. Veja:

4x² – 40x + 100 é o mesmo que (2x – 10)². Então:
(2x – 10)² = 64

Concluindo a resolução, temos que:


2x – 10 = 8 e 2x – 10 = – 8

2x – 10 = 8
2x = 18
x = 9

2x – 10 = –8
2x = – 8 + 10
2x = 2
x = 1


O grande problema desse modelo de resolução é que os hindus ainda não conheciam a raiz quadrada de um número negativo; assim, eles determinavam somente uma das raízes. No caso do exemplo dado, eles determinariam somente a raiz de número 9. Essas técnicas ajudam o aluno a compreender todos os passos de resolução de uma equação do 2º grau, o que não deixa o aluno “preso” a um único método de resolução.


Por Marcos Noé
Graduado em Matemática
Equipe Brasil Escola