Equação Geral da Reta

A Geometria Analítica surgiu no intuito de algebrizar a geometria, criando métodos que visam auxiliar a resolução de vários problemas. Na GA as figuras geométricas têm suas propriedades analisadas e estudadas com base em cálculos algébricos. Esses conteúdos são inerentes às turmas de 2ª ou 3ª série do Ensino Médio, de acordo com as grades curriculares das instituições de ensino. É papel do professor especificar a importância da Geometria Analítica para o bom desempenho do aluno que busca obter sucesso nos exames vestibulares da diversas Universidades brasileiras. Ela é constantemente relacionada em questões de provas, por isso é muito importante estar atento aos seus fundamentos.

Iremos abordar a equação geral da reta, criando mecanismos capazes de auxiliar os profissionais da Matemática no ensino aprendizado de tal conteúdo. Pela geometria plana sabemos que a reta é constituída de pontos colineares, isto é, alinhados. Diga aos alunos que além da representação pela geometria plana, a reta também pode ser explicada pela geometria espacial, pois, partindo do pressuposto de ser formada por pontos alinhados, estes pontos no espaço possuem coordenadas x e y (plano cartesiano). O principal objetivo da GA é criar uma equação que generaliza uma reta no espaço, isto pode ser feito utilizando os princípios do alinhamento de pontos propostos pelo determinante de uma matriz.

Considere uma reta s originada pelos pontos A (X_A; Y_A) e B (X_B; Y_B). Vamos destacar um ponto P qualquer nessa reta, nesse caso de coordenadas (x; y). Deixe claro que em razão dos pontos pertencerem à reta, eles estão alinhados. Dessa forma, vamos montar a matriz representativa das coordenadas dos pontos com base no gráfico dessa reta:

Ao calcularmos o determinante dessa matriz chegaremos à equação ax + by + c = 0, que é denominada equação geral da reta, onde a e b são números não nulos e x e y são pontos de coordenadas da reta.

É muito comum uma breve revisão sobre o conteúdo de matrizes e sistemas lineares, pois fica evidente que a demonstração da equação geral da reta utiliza técnicas de matrizes com cálculo de determinantes pelo método de Sarrus e as propriedades de um sistema linear homogêneo.

A fixação dos conteúdos está diretamente ligada à resolução de exemplos, exercícios de fixação e correção comentada. Modelos de exercícios podem ser encontrados em livros de Matemática da 2ª ou 3ª série do Ensino Médio e edições de volume único.

Exemplo de atividade proposta

Dados os pontos A(–1; 3) e B(2;–4), determine a equação geral da reta que passa pelos pontos.
Resolução:
X_A = –1
Y_A = 3
X_B = 2
Y_B = –4

Aplicando o método de Sarrus

{(x*3*1) + (y*1*2) + [1*(–1)*(–4)]} – [(1*3*2) + [y*(–1)*1] + [x * (–4)*1]} = 0

{3x + 2y + 4} – {6 – y – 4x} = 0

3x + 2y + 4 – 6 + y + 4x = 0

7x + 3y – 2 = 0

Por Marcos Noé
Graduado em Matemática
Equipe Brasil Escola