Estudo do Ponto sobre a Visão da Geometria Analítica

O Plano Cartesiano foi criado por René Descartes, com o intuito de localizar pontos no espaço. O aprofundamento dos estudos estabeleceu relações entre a álgebra e a geometria contribuindo na criação da Geometria Analítica, que objetiva pela análise das propriedades de figuras geométricas. O professor precisa conscientizar o aluno sobre a importância da G.A. e iniciar os estudos abordando a respeito do ponto.

Ao estudar o plano cartesiano verificamos que qualquer ponto possui coordenadas de localização. Partindo desse princípio básico e utilizando a Geometria Analítica vamos estabelecer o ponto médio de um segmento e a distância entre dois pontos no espaço. Para tais demonstrações o professor deve embasar suas explicações nos esquemas descritos a seguir. Observe:

Ponto médio de um segmento

Vamos considerar dois pontos distintos P(xp,yp) e Q(xq,yq). Com base nesses pontos vamos estabelecer o ponto médio M(xm,ym) do segmento PQ.

A determinação do ponto médio do segmento PQ é a média aritmética das abscissas e ordenadas dos extremos do segmento.

Distância entre dois pontos no plano cartesiano

Consideremos dois pontos P e Q de coordenadas P(xp,yp) e Q(xq,yq).

Observe que os pontos P e Q pertencem ao triângulo retângulo PQR, e formam o segmento PQ, que recebe o nome de hipotenusa. Os catetos são os segmentos PR e QR. Partindo dessa demonstração podemos aplicar o Teorema de Pitágoras: “o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos”, então:

Hipotenusa: PQ
Catetos: PR e QR

Portanto, a distância entre dois pontos no plano cartesiano de acordo com a Geometria Analítica é dada pela seguinte fórmula:

As demonstrações efetuadas devem vir seguidas de atividades, no intuito de fixação dos conteúdos, pois tais demonstrações e definições são requisitos básicos para os estudos sequenciais referentes à Geometria Analítica. Os exercícios de fixação podem ser retirados de qualquer livro de Matemática do Ensino Médio referente à 2ª ou 3ª série ou volume único.

Por Marcos Noé
Graduado em Matemática
Equipe Brasil Escola