Progressão Geométrica: Métodos e Técnicas de Ensino

As sequências numéricas matemáticas estão presentes em diversas situações cotidianas. No Ensino Médio, os estudos sobre essas sequências envolvem as progressões aritméticas e geométricas. Enfatizaremos nossa visão sobre as propriedades, definições e elementos de uma Progressão Geométrica, pois esse modelo de sequência numérica obedece a uma determinada lógica, que difere da forma sequencial de uma Progressão Aritmética.

No caso da PG, oriente os alunos a estabelecerem a razão da sequência numérica, sendo calculada da seguinte maneira: a partir do segundo termo dividimos o número seguinte pelo seu antecessor, o resultado será um valor constante denominado razão da PG. Exemplo:

Na sequência (2, 6, 18, 54, 162, 486, 1458, 4374, 13122, 39366) a razão será 3, pois:

6 : 2 = 3
18 : 6 = 3
486 : 162 = 3
1458 : 486 = 3
13122 : 4374 = 3
39366 : 13122 = 3

Mostre aos jovens os elementos e as abreviações:

a_n: último termo da progressão
a₁: primeiro termo da progressão
n: número de elementos da progressão

Classificar uma PG é de grande importância no desenvolvimento das expressões, pois facilita a interpretação das situações problemas. A classificação depende do valor da razão da PG, veja:

 Crescente: a₁ > 0 e q >0 ou a₁ < 0 e 0 < q < 1

 Decrescente: a₁ > 0 e 0 < q < 1 ou a₁ < 0 e q > 1

 Oscilante: quando q < 0.


Para determinarmos um dos termos de uma PG, utilizamos a seguinte expressão matemática: a_n = a₁*q ^{n – 1}.

Verifique a assimilação e compreensão dos conteúdos por parte dos alunos através de exercícios que poderão ser facilmente encontrados em livros do Ensino Médio. Resolva alguns exercícios explicando e dando dicas práticas de resolução e alertando sobre a interpretação nas situações envolvendo problemas. Por exemplo:

Dada a sequência (3, 12, 48, 576, 2304, 9216, 36864,....), determine o 14º termo da progressão geométrica.

Resolução:

Razão (q) = 12 : 3 = 4
a₁ = 3
n = 14

a_n = a₁ * q^{n – 1}
a₁₄= 3 * 4^{14 – 1}
a₁₄ = 3 * 4¹³
a₁₄ = 3 * 67108864
a₁₄ = 201.326.592


As metodologias utilizadas servem como ferramenta auxiliar, ficando a critério do professor a utilização de outros meios educacionais no ensino das progressões geométricas.

Por Marcos Noé
Graduado em Matemática
Equipe Brasil Escola