O número imaginário i

Quando fiz o Ensino Médio, mais precisamente a 3ª série, deparei-me com a seguinte identidade:
i² = -1

E com essa igualde tornou-se possível resolver equações do 2º grau com discriminante negativo, até então impossíveis de serem resolvidas. Conheci o famoso número imaginário.

Mas o que não entendi naquele momento foi de onde surgiu tal identidade. Essa dúvida perseguiu-me até entrar no curso de matemática e creio que ainda seja a dúvida de muitos alunos e até mesmo professores. Vamos compreendê-la.

Primeiro, vamos definir Número Complexo.

Definição:
a) Um par ordenado de números reais (x, y) é chamado de um número complexo.
b) Os números complexos (x₁, y₁) e (x₂, y₂) são iguais se, e somente se, x₁ = x₂ e y₁ = y₂.
c) A soma e o produto dos números complexos (x₁, y₁) e (x₂, y₂) são dados, respectivamente, por

(x₁, y₁) + (x₂, y₂) = (x₁ + x₂ , y₁ + y₂)                                                         (A)

(x₁, y₁) * (x₂, y₂) = (x₁ * x₂ - y₁ * y₂ , x₁ * y₂ + y₁ * x₂)                             (M)

Exemplo: Se z₁ = ( 2, 3) e z₂ = (3, -1), então

z₁+ z₂ = (2, 3) + (3, -1) = ( 2+3 , 3+(-1)) = (5, 2)
e
z₁* z₂ = (2, 3) * (3, -1) = (2*3 – 3*(-1) , 2*(-1) + 3*3) = (9, 7)

Utilizando o item c) da definição acima, pode-se mostrar que:
(x₁, 0) + (x₂, 0) = (x₁ + x₂ , 0)

(x₁, 0) * (x₂, 0) = (x₁ * x₂ , 0)

Essas igualdades mostram que, no que se refere às operações de adição e multiplicação, os números complexos da forma (x, y) comportam-se como os números reais. Neste contexto, tem-se a igualdade:
(x, 0) = x.

Usando esta identificação e o símbolo i para representar o número complexo (0, 1), podemos substituir na identidade:

(x, y) = (x, 0) + (0, 1)*(y, 0)

(x, 0) por x, (0, 1) por i e (y, 0) por y e obter

(x , y) = x + iy → que é chamada a forma normal do número complexo (x , y).

Exemplo: A forma normal do número complexo (5, 7) é 5 + i2.

A forma normal de (1, 0) é 1 + i0 ou 1 e a forma normal de (0, 1) é 0 +i1 ou i.

Agora, observe:
i = (0 , 1) → i² = (0 , 1) * (0 , 1) = (0*0 - 1*1 , 0*1+1*0) = (-1 , 0) = -1.

Logo, i² = -1.

E o número i é o par ordenado de números reais (0, 1).
 

Por Marcelo Rigonatto
Especialista em Estatística e Modelagem Matemática
Equipe Brasil Escola